信号的多普勒展缩建模

在“狭义相对论”的物理学假设下，光速是恒定的，是任何物体运动速度的上限。因此，信号在发送时刻就已经确定了其传播方向与传播距离，与后续收发机的运动无关。

假设发送机从时刻开始，每隔时间间隔，离散地发送一次复信号。时刻，接收机在距离发送机的位置，并且以一定的速度远离发送机运动。

感觉本文最初的假设，发送机在时刻发送的信号，其传播距离仅与有关，假设接收机在时刻收到该信号，则，表示传输时延。

发送机在时刻发送信号，此时二者的距离为，传输时延为，接收机收到信号的时刻为，以此类推，第个复信号的传输时延为 接收机接收到第个复信号的时刻为 接收机收到第个复信号与第个复信号的时间差为 而发送机发送第个复信号与第个复信号的时间差为，由此可以看出，经过多普勒的影响后，信号在接收端表现为平移+展缩的效果。

附录

• 平移+展缩的MATLAB仿真程序：

%% System Parameters
c = 3e8;
t0 = 0;
Ts = 1e-3;
D0 = 5e4;
v = 5e7;
N = 5;
f0 = 5000;
fs = 50 * f0;
t_symbol = Ts;

%% Send and Recv
t_send_total = t_symbol * N;
t = linspace(t0, t0 + t_send_total, fs * t_send_total);
s = cos(2 * pi * f0 * (t - t0));

n = 0:N;
t_send = t0 + n * Ts;
tau_n = (D0 + v * n * Ts) / c;
t_recv = t_send + tau_n;

f_doppler = f0 * (c - v) / c;
delta_t = Ts * (1 + v / c);

t_rx = linspace(t_recv(1), t_recv(end) + t_symbol*(1 + v/c), ...
                fs * (t_recv(end) - t_recv(1) + t_symbol*(v/c + 1)));
r = zeros(size(t_rx));
for k = 1:N
    idx = t_rx >= t_recv(k) & t_rx < t_recv(k) + t_symbol*(1 + v/c);
    r(idx) = cos(2 * pi * f_doppler * (t_rx(idx) - t_recv(k)));
end

%% Plot
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, s, 'b', 'LineWidth', 1.2);
title('发送单音信号时域波形');
xlabel('时间(s)'); ylabel('幅度');
xlim([t0, t0 + t_send_total]); grid on;

subplot(2,1,2);
plot(t, s, 'b--', 'LineWidth', 1.0);
hold on;
plot(t_rx, r, 'r', 'LineWidth', 1.2);
title('接收单音信号时域波形（多普勒效应）');
xlabel('时间(s)'); ylabel('幅度');
xlim([t_recv(1), t_recv(end) + t_symbol*(1 + v/c)]); grid on;

figure;
S_fft = fftshift(fft(s));
f = fs * (-length(s)/2 : length(s)/2 - 1) / length(s);
subplot(2,1,1);
plot(f/1e6, abs(S_fft)/max(abs(S_fft)), 'b', 'LineWidth', 1.2);
title('发送信号频谱');
xlabel('频率(MHz)'); ylabel('归一化幅度');
xlim([f0/1e6 - 1, f0/1e6 + 1]); grid on;

R_fft = fftshift(fft(r));
f_rx = fs * (-length(r)/2 : length(r)/2 - 1) / length(r);
subplot(2,1,2);
plot(f_rx/1e6, abs(R_fft)/max(abs(R_fft)), 'r', 'LineWidth', 1.2);
title('接收信号频谱（多普勒频移）');
xlabel('频率(MHz)'); ylabel('归一化幅度');
xlim([f0/1e6 - 1, f0/1e6 + 1]); grid on;