傅里叶级数

信号在正交集中的分解

矢量分解

为了方便理解，先从矢量分解说起，

单矢量基底

如左图，使近似于矢量，误差尽可能的小（定义误差为的模长），可以得到使误差最小的系数为 如果系数，则说明与垂直（正交）。

多矢量基底

为了将误差进一步缩小，现在用多个矢量的线性组合近似表示矢量 一般情况下，如果的方向未知，某一个矢量基底的系数不仅与这个矢量有关，还与其它矢量基底的角度有关；如果满足矢量两两正交，则可以证明

信号分解

与矢量分解类似推导信号分解

单标准信号

在时间范围内，用近似函数，并使得误差最小

此处误差讨论方均误差

与矢量分解类似，可以求得系数 如果，则称函数与正交。

多标准信号

现在用多个标准信号的线性组合来近似表示信号 当两两正交时，可以证明

综上，矢量与函数的运算和分解如下

矢量 函数
“乘法”
正交
误差
误差代价
相似系数

信号的傅里叶级数表示

三角函数形式的傅里叶级数表示

选择一个正交函数集，其中

为什么不选泰勒级数呢，我算它应该是不正交的

下面说明该函数集的几个性质

  1. 正交性：函数两两正交

  1. 当时，；当时，

此时，可以将任意函数在这个正交函数集中展开，即表示成多个正（余）弦函数的线性组合 其中系数可以根据上文表格中的表达式求出 不过，为了表达方便，可以将分解式改写为下面表达式（把直流分量改为）

则系数为 表达式右边是多个周期为的函数的和，仍然是周期为的函数；这种分解可以用来研究时间区间内的信号分解，也可以研究周期为的函数在整个时间区间的信号分解。

令，则上面的分解可以表达为 可以将它看成是平移之后的线性组合。

不清楚为啥大学教材这么喜欢用函数，感觉相位前面加个负号就很奇怪

其中称为信号的直流分量，或称为信号的基波分量；或称为信号的次谐波分量。

复数形式的傅里叶级数表示

选择正交函数集为，得到级数展开式为 得到其中的系数

推导过程如下：

令，令其中，

奇偶性

任何函数都可以写成奇函数和偶函数的和：

  • 如果信号函数是偶函数，则傅里叶级数中只有直流分量和余弦分量；

  • 如果信号函数是奇函数，则傅里叶级数中只有正弦分量；

  • 奇谐函数的傅里叶记住中只有奇次谐波分量；偶谐函数的傅里叶级数中只有直流和偶次谐波分量。